電気を妨げるものには抵抗、コイル、コンデンサなどがあり、これらは総称してインピーダンスと呼ばれています。
インピーダンスの計算は交流回路の計算の基本であり、直列か並列かによっても変わってきます。
しかし「インピーダンスの計算は複雑で難しい」、「なぜこの式で計算ができるんだろう？」と感じませんか？
今回は並列回路のインピーダンスの計算方法について解説します！
RL並列回路のインピーダンスについて
まずはR（抵抗）とL（コイル）を並列に接続した場合のインピーダンスの計算についてです。
RとLの並列回路のインピーダンスは下記の式で計算することができます。
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{XL^2}}}$$
$$=\frac{RXL}{\sqrt{R^2+XL^2}}[Ω]$$
なぜこのような式になるのかというと、電流と電圧の位相関係を踏まえてオームの法則にあてはめるとこのような式になるためです。(XLのLは表示の関係上大きい文字にしています）
例えば下の図のような抵抗とコイルを並列に接続した回路の全体のインピーダンスを考えてみます。
回路全体のインピーダンスを求めるとなると、オームの法則により、回路全体の電流と電圧を最初に求めなければ計算することができません。
電圧Ｖは並列回路なのでどこでも同じ電圧となります。
次に全体の電流Ｉについて考えてみます。
並列回路全体の電流は各箇所の電流の合計になるため、IｒとＩＬの合計になります。
しかし、交流回路にコイルが接続されている場合、電圧Vと電流ＩLには９０°の位相差が発生します。（電流の位相が９０°遅れる）
これはコイルの自己誘導作用によってコイルの電流が妨げられ、電流の位相が９０°遅れてしまうためです。
位相の関係を踏まえて、電流Ｉ、Ｉｒ、ＩＬと電圧Ｖをベクトル図で表すと下の図のようになります。
先程電流ＩはＩｒとＩＬの合計になるとお話しましたが、残念ながら直流回路のように足し算をするだけでは求めることはできません。
上のベクトル図で電流Ｉは電流ＩｒとＩＬの合計になることから、２つのベクトルを合成したものが電流Ｉとなります。
そうすると、電流Ｉ、Ｉｒ、ＩＬで直角三角形が形成されるため三角関数の性質から電流Ｉは下記の式で求められることになります。
$$I=\sqrt{Ir^2+IL^2}=\sqrt{(\frac{V}{R})^2+(\frac{V}{XL})^2}$$
$$=V\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{XL^2}} [A]・・・①$$
①の式をＺ＝Ｖ／Ｉにあてはめると、最初に説明したインピーダンスの計算式になることがわかります。
これがＲとＬを並列に接続した時の回路全体のインピーダンスを求められる根拠です。
交流回路の計算では最初に電流や電圧をベクトルに描き、位相関係を整理してから計算をするとわかりやすいです。
RC並列回路のインピーダンスについて
今度はＲ（抵抗）とＣ（コンデンサ）を並列に接続した場合のインピーダンスの計算についてです。
RとＣの並列回路のインピーダンスは下記の式で計算することができます。
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{Xc^2}}}$$
$$=\frac{RXc}{\sqrt{R^2+Xc^2}}[Ω]$$
なぜこのような式になるのかというと、これも電流と電圧の位相関係をもとにオームの法則で導きだしているためです。
例えば下の図のような抵抗とコンデンサを並列に接続した回路の全体のインピーダンスを考えてみます。
ＲとＬの時と同じように、回路全体のインピーダンスを求める時は、回路全体の電流と電圧を最初に求めなければ計算することができません。
全体の電圧Ｖと電流Ｉの考え方も先程と同じです。
並列回路のため電圧Ｖはどこでも同じになり、電流Ｉは電流ＩｒとＩcの合計になります。
しかし電流Ｉｃの位相については電圧Ｖよりも９０°進んだ位相となります。
これはコンデンサに電荷を蓄える性質があるため、電源との電位差がなくなり、大きさの変化にズレが発生することから位相差が生まれるものです。
これらのことを踏まえて電圧Ｖと電流Ｉ、Ｉｒ、Ｉｃの関係をベクトル図に表すと下の図のようになります。
並列回路の電流Ｉは各電流ＩｒとＩｃの合計になることから、２つのベクトルを合成したものが電流Ｉとなります。
そうするとＲとＬの時とは反対方向にまた直角三角形が形成されるため、三角関数の性質から電流Ｉは下記の式で求められます。
$$I=\sqrt{Ir^2+IL^2}=\sqrt{(\frac{V}{R})^2+(\frac{V}{XL})^2}$$
$$=V\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{XL^2}} [A]・・・②$$
②の式をＺ＝Ｖ／Ｉにあてはめると、はじめに説明したインピーダンスの計算式になることがわかります。
これがＲとＣを並列に接続した時の回路全体のインピーダンスを求められる根拠です。
ＲとＬの時と求め方は同じですが、コンデンサの電流は位相関係が違うため注意しましょう。
RLC並列回路のインピーダンスについて
最後はR(抵抗）、Ｌ（コイル）、Ｃ（コンデンサ）を並列に接続した場合のインピーダンスの計算についてです。
Ｒ、Ｌ、Ｃの並列回路のインピーダンスは下記の式で計算することができます。
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\frac{1}{XL}-\frac{1}{Xc})^2}} [Ω]$$
なぜこのような式になるのかというと、これも電流と電圧の位相関係をもとにオームの法則で導きだしているためです。
先程までの考え方と基本は同じです。
全体の電圧と電流の大きさと位相関係に注意してオームの法則に当てはめて計算するだけです。
今度は下の図のような抵抗、コイル、コンデンサを並列に接続した回路で考えてみます。
電圧Ｖはどこでも同じになり、全体の電流Ｉは各箇所の電流（Ｉｒ、ＩＬ、Ｉｃ）の合計になります。
位相関係については先程解説したとおり、電圧Ｖに対して電流ＩＬが９０°遅れ、電流Ｉｃが９０°進んだ関係になります。
ことことを踏まえて電圧Ｖと電流Ｉ、ＩＬ、Ｉｃをベクトル図で表すと下の図のようになります。
上の図で注目しなければいけないのは、ＩＬとＩｃのベクトルです。
ＩＬとＩｃについては電圧Ｖに対して９０°ずつ位相がズレていることから、１８０°反対の向きになり互いに打ち消し合います。
並列回路の電圧Ｖはどこでも一定であることから、オームの法則によりＩＬ、Ｉｃの大きさはＸＬとＸｃの大きさにより変化します。（今回はＸｃ＞ＸＬ）
また、電流Ｉは各電流の合計になることから、全ての電流のベクトルを合成したものです。
よって、ＸＬ＞Ｘｃの時は電流Ｉは遅れの位相、Ｘｃ＞ＸＬの時は進みの位相ベクトルになります。（上記ベクトルは進み）
ＩＬ、Ｉｃのどちらが大きくても、直角三角形が形成されるため三角関数の性質から電流Ｉは下記の式で求められます。
$$I=\sqrt{Ir^2+(IL-Ic)^2} [A]$$
$$=V\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\frac{1}{XL}-\frac{1}{Xc})^2} ・・・③ [A]$$
③の式をＺ＝Ｖ／Ｉに当てはめると、はじめに説明したインピーダンスの計算式になることがわかります。
以上がＲ、Ｌ、Ｃを並列に接続した時の回路全体のインピーダンスを求める方法です。
ＩＬ、Ｉｃの大きさに注意をしながら計算をしましょう。
まとめ
・ＲとＬの並列回路のインピーダンス
$$Ｚ=\frac{RXL}{\sqrt{R^2+XL^2}}[Ω]$$
・ＲとＣの並列回路のインピーダンス
$$Ｚ=\frac{RXc}{\sqrt{R^2+Xc^2}}[Ω]$$
・Ｒ、Ｌ、Ｃの並列回路のインピーダンス
$$Ｚ=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\frac{1}{XL}-\frac{1}{Xc})^2}} [Ω]$$
以上、今回はインピーダンスの並列回路についての解説でした。
交流回路の計算をする時は、インピーダンスを求めることが必須になりますのでとても重要です。
また、インピーダンス王になるためにはコイルとコンデンサの性質を理解することも重要になってきます。
下記の記事ではコイルとコンデンサの性質について詳しく解説していますので、あわせて是非参考にしてください。
コメントを残す