交流回路の電流を妨げるものには抵抗（R）、コイル（L）、コンデンサ（C）などがあります。
それらのものは総称してインピーダンスと呼ばれています。
交流回路の電流や電圧を計算したい時には、インピーダンスを計算しなければ何も求めることができません。
そのため、インピーダンスの計算方法を知ることはとても重要なことです。
今回はRLC直列回路のインピーダンスの計算方法について解説をしていきます。
RとLの直列回路のインピーダンスについて
まずはR（抵抗）とL（コイル）を直列に接続した場合のインピーダンスの計算についてです。
RとLの直列回路のインピーダンスZは下記の式で計算することができます。
$$Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+XL^2}=\sqrt{R^2+(2πfL)^2} [Ω]$$
なぜこのような式になるのかというと、電圧と電流の位相関係を踏まえてオームの法則で導きだしているためです。
例えば、下の図のような抵抗とコイルを直列に接続した回路があったとします。
直列回路の全体の電圧Vは各箇所の電圧の合計となるため、抵抗の電圧Vr、コイルの電圧VLの合計となります。
しかし、交流回路でコイルが接続されている場合、コイルの電圧VLと電流Iには９０°の位相差が発生します。（電流の位相が９０°遅れる）
これはコイルの自己誘導作用によってコイルの電流が妨げられ、電流の位相が９０°遅れてしまうためです。
一方、抵抗の電圧Vrは回路の電流Iと同じ位相となります。
これらの位相関係を踏まえて、電流I、電圧V、Vr、VLをベクトル図で表すと下のようになります。
電圧VはVr、VLの合計になるとお話しましたが、残念ながらシンプルな足し算で求められる訳ではありません。
電圧Vを上のベクトル図で表すとVRの始点からVLの終点を結んだものとなります。（VはVr、VLの合計のためベクトルを合成）
そうすると電圧V、Vr、VLで直角三角形が形成されるため三角関数の性質から電圧Vは下記の式になります。
$$V=\sqrt{Vr^2+VL^2} [V]$$
オームの法則をもとに上の式を変形させると電圧Vは、
$$V=\sqrt{Vr^2+VL^2} =\sqrt{(RI)^2+(XLI)^2}$$
$$=I\sqrt{R^2+XL^2} [V]$$
となります。
また、電流Iは上の式から
$$I=\frac{V}{\sqrt{R^2+XL^2}} [A]$$
となり、分母はオームの法則の抵抗に相当することから、インピーダンスはRとXLの２乗和の平方根となることがわかります。
以上が一番最初にお話しした計算式の根拠となります。
このように交流回路の計算は、位相の関係も考えながら計算をすることが重要です。
RとCの直列回路のインピーダンスについて
次はR（抵抗）とC（コンデンサ）を直列に接続した場合のインピーダンスの計算方法です。
RとCの直列回路のインピーダンスZは下記の式で計算することができます。
$$Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+Xc^2}=\sqrt{R^2+(\frac{1}{2πfC})^2} [Ω]$$
なぜこのような式になるのかというと、これも電圧と電流の位相関係からオームの法則で導きだしているためです。
下の図のような抵抗とコンデンサを直列に接続した回路で考えてみます。
コンデンサを接続した回路では、電流Iの位相は電圧Vcよりも９０°進むことになります。
これはコンデンサには電荷を蓄える性質があり、電圧が充電されると電源との電位差がなくなり位相差が発生してしまうからです。
抵抗の電圧Vrと電流Iは同じ位相です。
このコンデンサの特性を踏まえて回路の電圧V、Vr、Vcと電流Iをベクトル図で表すと下のようになります。
直列回路の電圧Vは各電圧Vr、Vcの和となることから、Vr、Vcのベクトルを合成したものになります。
そうすると、また直角三角形が形成され三角関数の性質から電圧Vは下記の式で求められます。
$$V=\sqrt{Vr^2+Vc^2} [V]$$
$$V=\sqrt{(RI)^2+(XcI)^2}=I\sqrt{R^2+Xc^2}[V]$$
また、電流Iは上の式の式を変形させると下の式になります。
$$I=\frac{V}{\sqrt{R^2+Xc^2}} [A]$$
RとLの時と同じように上の式の分母はオームの法則にあてはめると、抵抗に相当します。
そのためRとCの直列回路のインピーダンスも２乗和の平方根で計算できることになります。
R、L、Cの直列回路のインピーダンスについて
今度はR(抵抗)、L(コイル)、C(コンデンサ)を直列に接続した場合のインピーダンスの計算についてです。
R,L,Cの直列回路のインピーダンスZは下記の式で計算することができます。
$$Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+(Xc-XL)^2} [Ω]$$
なぜこのような式になるのかというと、これも電圧と電流の位相関係をベクトル図で表すと導きだせるためです。
下の図のような抵抗、コイル、コンデンサを直列に接続した回路があったとします。
直列回路のため電圧Vは電圧Vr、VL、Vcの合計になります。
電流ＩはVLよりも位相が90°遅れ、Vcよりも位相が90°進みます。
このことを踏まえて電流Ｉと電圧Vr、VL、Vcの関係をベクトル図で表すと下のようになります。
ここで注目しなければいけないのは、VLとVcのベクトルです。
VLとVcについては電流Iに対して９０°ずつ位相がズレていることから、１８０°反対の向きになり互いに打ち消し合います。
直列回路の電流はどこでも同じ値になることから、オームの法則によりVL、VcはXLとXcの大きさにより変化します。（今回はXL>Xc)
電圧Vは各電圧の和であるため、全ての電圧のベクトルを合成したものが電圧Vのベクトルです。
よって、XL>Xcの時は電圧Vは進み方向、Xc＞XLの時は電圧Ｖは遅れ方向のベクトルとなります。（上記ベクトルは進み）
XL、Ｘcのどちらが大きくても、直角三角形が形成されるため三角関数の性質から電圧Ｖは下記の式で求められます。
$$V=\sqrt{Vr^2+(VL-Vc)^2}$$
$$=\sqrt{(RI)^2+(XLI-XcI)^2}$$
$$=I\sqrt{R^2+(XL-Xc)^2} [V]$$
上の式から電流Ｉを求める式は下記の式になります。
$$I=\frac{V}{\sqrt{R^2+(XL-Xc)^2}} [A]$$
上の式の分母はオームの法則にあてはめると、抵抗に相当します。
そのためR、Ｌ、Cの直列回路のインピーダンスは抵抗と誘導リアクタンス、容量リアクタンスの差の２乗和の平方根で計算できることになります。
ちなみにXLとXcの大きさが同じ時はVL、Vcが完全に打ち消し合い０になるため、Vr＝Vで求められます。
以上がＲ、Ｌ、Ｃの直列回路のインピーダンスの計算方法になります。
計算をする前にまずはベクトルを描いてから計算をすることがとても重要です。
まとめ
・RとLの直列回路のインピーダンス
$$Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+XL^2}=\sqrt{R^2+(2πfL)^2} [Ω]$$
・RとCの直列回路のインピーダンス
$$Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+Xc^2}=\sqrt{R^2+(\frac{1}{2πfC})^2} [Ω]$$
・R、L、Cの直列回路のインピーダンス
$$Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+(Xc-XL)^2} [Ω]$$
以上、今回はRLC直列回路のインピーダンスの計算方法についての解説でした。
インピーダンスの計算は交流回路の電圧、電流の計算にも必要な基本的な知識になります。
また、今回記事で紹介したコイルとコンデンサの位相の性質も重要な知識です。
コイルとコンデンサの詳しい性質については下記の記事で紹介していますので、併せて是非参考にしてください。
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